二元关系（binary relation）是集合论中同一集合中两个元素之间的关系。
定义及表示[]
如果一个集合满足以下条件之一：
为空集（
∅
{\displaystyle \varnothing}
）；
非空集合且元素都是二元有序对，
则称该集合为一个二元关系（或简称关系），记作
R
{\displaystyle R}
。对于
R
{\displaystyle R}
，如果
(
x
,
y
)
∈
R
{\displaystyle (x,y) \in R}
，则记作
x
R
y
{\displaystyle xRy}
，意思就是
x
{\displaystyle x}
和
y
{\displaystyle y}
有
R
{\displaystyle R}
关系（注意顺序），若
(
x
,
y
)
∉
R
{\displaystyle (x,y) \notin R}
，则记作
x
⧸
R
y
.
{\displaystyle x \!\! \not{R} y.}
关系可以用集合表示，如集合
{
1
,
2
}
{\displaystyle \{1,2\}}
上的关系
R
=
{
(
1
,
1
)
,
(
1
,
2
)
,
(
2
,
1
)
,
(
2
,
2
)
}
{\displaystyle R = \{ (1,1), (1,2), (2,1), (2,2) \}}
，这是一个全关系。
将
A
{\displaystyle A}
上的二元关系看作集合，将所有的二元关系收集起来，按照集合间的包含作为偏序，会形成一个偏序集，进一步它还是格。
几种特殊的二元关系[]
空关系：
∅
{\displaystyle \varnothing}
，空关系就是二元关系定义中的第一种情况；
全关系：
E
A
=
d
{
(
x
,
y
)
|
x
∈
A
,
y
∈
A
}
=
A
×
A
{\displaystyle E_A \overset{\underset{\mathrm{d}}{}}{=} \{ (x,y) | x \in A, y \in A \} = A \times A}
；
恒等关系：
I
A
=
d
{
(
x
,
x
)
|
x
∈
A
}
{\displaystyle I_A \overset{\underset{\mathrm{d}}{}}{=} \{ (x,x) | x \in A \}}
。
逆关系：若关系
R
=
{
(
x
,
y
)
|
x
∈
A
,
y
∈
B
}
{\displaystyle R = \{ (x,y) | x \in A, y \in B \}}
，则可定义它的逆关系
R
−
1
=
{
(
y
,
x
)
|
x
∈
A
,
y
∈
B
}
{\displaystyle R^{-1} = \{ (y,x) | x \in A, y \in B \}}
。特别地，全关系和恒等关系的逆都是自身。
关系积（relational product）：假设
R
1
,
R
2
{\displaystyle R_1,R_2}
是
A
{\displaystyle A}
上的二元关系，那么
R
1
∘
R
2
{\displaystyle R_1 \circ R_2}
由下式定义：
(
a
,
b
)
∈
R
1
∘
R
2
⟺
∃
c
∈
A
,
(
a
,
c
)
∈
R
1
,
(
c
,
b
)
∈
R
2
.
{\displaystyle (a, b) \in R_1 \circ R_2 \iff \exists c \in A, (a, c) \in R_1, (c, b) \in R_2.}
同样可以递归定义
R
1
∘
R
2
∘
⋯
∘
R
n
:=
(
R
1
∘
R
2
∘
⋯
∘
R
n
−
1
)
∘
R
n
.
{\displaystyle R_1 \circ R_2 \circ \cdots \circ R_n := (R_1 \circ R_2 \circ \cdots \circ R_{n-1}) \circ R_n.}
关系的性质[]
说明：下列关系
R
{\displaystyle R}
均定义在集合
A
{\displaystyle A}
上。
自反性：称
R
{\displaystyle R}
是自反的，如果
∀
x
∈
A
,
x
R
x
{\displaystyle \forall x \in A, xRx}
，即
I
A
⊆
R
{\displaystyle I_A \subseteq R}
。自反性要求必须包括全部由
x
∈
A
{\displaystyle x \in A}
组成的元素相同的有序对。例如，整数上的整除关系是自反的，实数上的小于等于关系也是自反的，因为任意一个实数总小于等于自身，但小于关系却不是，因为没有一个有限实数小于自身。同样，集合的包含关系是自反的，但真包含关系却不是自反的。特别的，全关系和恒等关系都是自反的。
反自反性：称
R
{\displaystyle R}
是反自反的，如果
(
x
,
x
)
∉
R
{\displaystyle (x,x) \notin R}
。反自反性与自反性只容许有一个成立，或都不成立。例如实数上的小于关系是反自反的，集合上的真包含也是反自反的。
对称性：称
R
{\displaystyle R}
是对称的，如果
∀
x
∀
y
∈
A
,
x
R
y
⇒
y
R
x
{\displaystyle \forall x \forall y \in A, xRy \Rightarrow yRx}
。也就是说，
R
{\displaystyle R}
上若有
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
，则必有
(
y
,
x
)
{\displaystyle (y,x)}
。例如，空关系、全关系和恒等关系都是对称的，数和集合上的相等与不等关系也是对称的。
反对称性：称
R
{\displaystyle R}
是反对称的，如果
∀
x
∀
y
∈
A
,
(
x
R
y
∧
y
R
x
)
⇒
x
=
y
{\displaystyle \forall x \forall y \in A, ( xRy \land yRx ) \Rightarrow x = y}
。也就是说，
x
≠
y
{\displaystyle x\ne y}
时
R
{\displaystyle R}
上若有
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
，则必没有
(
y
,
x
)
{\displaystyle (y,x)}
。例如，实数的小于等于关系是反对称的，集合的包含关系也是反对称的。
传递性：称
R
{\displaystyle R}
是传递的，如果
∀
x
,
y
,
z
∈
A
,
(
x
R
y
∧
y
R
z
)
⇒
x
R
z
{\displaystyle \forall x, y, z \in A, ( xRy \land yRz) \Rightarrow xRz}
显然，整数上的整除关系，实数上的小于等于、小于、等于关系是传递的，集合上的包含，真包含关系也是传递的。
一些推论：
集合上的一个关系，如果它是对称且可传递，那它一定自反；
一个关系和它的逆关系具有相同的性质；
若两个关系具有相同的性质，那它们的交关系也就有相同的性质。
公理集合论（学科代码：1101450，GB/T 13745—2009）
集合
集合 ▪ 空集 ▪ 交集 ▪ 并集 ▪ 差集 ▪ 补集 ▪ 对称差 ▪ 指标集 ▪ 多重集 ▪ Cartesian 积
映射
映射 ▪ 单射和满射 ▪ 双射 ▪ 逆映射 ▪ 基数和集合的势 ▪ 可数集
关系
二元关系 ▪ 二元运算 ▪ 单位元 ▪ 零元 ▪ 逆元 ▪ 序关系和偏序集的运算 ▪ 等价关系
公理系统
选择公理 ▪ Zorn 引理 ▪ 良序公理 ▪ 数学归纳法和超限归纳原理
所在位置：数学（110）→ 数理逻辑与数学基础（11014）→ 公理集合论（1101450）